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1.5　全称���存在��

1.5.1　全称���存在��

1.5.2　全称��命题和存在��命题的�定

1�全称���全称��命题

(1)短语“所有的�“任�一个�在逻辑中通常��全称��，并用符�“∀�表示�

(2)�有全称��的命题��全称��命题，通常将�有��x的语�用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，��x的�值范围用M表示，那么全称��命题“对M中任�一个x，p(x)�立��用符�简记为∀x∈M，p(x)�

2�存在���存在��命题

(1)短语“存在一个�“至少有一个�在逻辑中通常��存在��，并用符�“∃�表示�

(2)�有存在��的命题，��存在��命题，存在��命题“存在M中的元素x，使p(x)�立�，�用符�简记为“∃x∈M，p(x)��

�考：“一元二次方程ax2＋2x＋1�0有�数解�是存在��命题还是全称��命题？请改写�相应命题的形��

�示：是存在��命题，�改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1�0��

3��有一个��的命题的�定�

一般地，对��有一个��的命题的�定，有下�的结论：

全称��命题p：∀x∈M，p(x)，它的�定�p：∃x∈M，�p(x)；

存在��命题p：∃x∈M，p(x)，它的�定�p：∀x∈M，�p(x)�

全称��命题的�定是存在��命题，存在��命题的�定是全称��命题�

1�下列命题中全称��命题的个数是(　　 )

①任�一个自然数都是正整数；

②有的�形是正方形；

③三角形的内角和是180°.

A�0　　　　B�1　　　　C�2　　　　D�3

[答案]　C

2�下列全称��命题为真命题的是(　　 )

A�所有的质数是奇数

B�∀x∈R，x2＋1≥1

C�对�一个无�数x，x2也是无�数

D�所有的能被5整除的整数，其末�数字都是5

[答案]　B

3�下列命题中的�命题是(　　 )

A�∀x∈R，|x|≥0 B�∀x∈N*，(x�1)2>0

C�∃x∈R，x＋2019<1 D�∃x∈R,2x�2

B　[当x�1时，(x�1)2�0，所以B项为�命题�]

4�已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则其�定是(　　 )

A�￢p：∃x∈R，sin ≥1

B�￢p：∀x∈R，sin x≥1

C�￢p：∃x∈R，sin x�1

D�￢p：∀x∈R，sin x�1

[答案]　C

全称��命题和存在��命题的判断

�例1】　指出下列命题是全称��命题还是存在��命题，并判断它们的真��

(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；

(2)存在一个x∈R，使�0；

(3)对任��数a，|a|�0；

(4)有一个角α，使sin α�.

[解]　(1)是全称��命题�因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题�

(2)是存在��命题�因为�存在x∈R，使�0�立，所以该命题是�命题�

(3)是全称��命题�因为|0|�0，所以|a|�0�都�立，因此，该命题是�命题�

(4)是存在��命题�因为当α�30°时，sin α�，所以该命题是真命题�

全称��命题�存在��命题真�的判断方法：

(1)�判定一个全称��命题是真命题，必须对�定集�M中的�个元素x��p(x)�立；但�判定全称��命题是�命题，��能举出集�M中的一个x，使得p(x)��立��(这就是通常所说的“举出一个�例�).

(2)�判定一个存在��命题是真命题，��在�定集�M中，能找到一个x使p(x)�立��；�则，这个存在��命题就是�命题.

1. 判断下列命题的真��

(1)任�两个�积相等的三角形一定相似；

(2)∃x，y为正�数，使x2＋y2�0；

(3)在平�直角�标系中，任�有��数对(x，y)都对应一点P；

(4)∀x∈N，x2>0.

[解]　(1)因为�积相等的三角形�一定相似�故它是�命题�

(2)因为当x2＋y2�0时，x�y�0，

所以�存在x，y为正�数，使x2＋y2�0，故它是�命题�

(3)由有��数对�平�直角�标系中的点的对应关系知，它是真命题�

(4)因为0∈N,02�0，所以命题“∀x∈N，x2>0�是�命题�

�有一个��的命题的�定

�例2】　(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的�定为(　　 )

A�∀n∈N，n2>2n　　 B�∃n∈N，n2≤2n

C�∀n∈N，n2≤2n D�∃n∈N，n2�2n

(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2�的�定形�是(　　 )

A�∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

B�∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

C�∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2

D�∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

(1)C　(2)D　[(1)因为“∃x∈M，p(x)�的�定是“∀x∈M，￢p(x)�，所以命题“∃n∈N，n2>2n�的�定是“∀n∈N，n2≤2n�，故选C.

(2)由�存在��命题的�定形�是全称��命题，全称��命题的�定形�是存在��命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2�的�定形�为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2��]

�有一个��的命题的�定的方法

(1)一般地，写�有一个��的命题的�定，首先��确这个命题是全称��命题还是存在��命题，并找到���相应结论，然�把命题中的全称��改�存在��，存在��改�全称��，�时�定结论�

(2)对��略��的命题，应先挖�命题中��的��，改写����的完整形�，���规则�写出命题的�定�

2�写出下列命题的�定并判断其真�：

(1)p：∀x∈R，2≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；

(4)s：至少有一个�数x，使x3＋1�0.

[解]　 (1) ￢p：∃x∈R，2＜0，�命题�

因为∀x∈R，2≥0��立，所以￢p是�命题�

(2) ￢q：至少存在一个正方形�是矩形，�命题�

(3) ￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3�0，真命题�

因为∀x∈R，x2＋2x＋3�(x＋1)2＋2≥2�0��立，所以￢r是真命题�

(4) ￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，�命题�

因为x��1时，x3＋1�0，所以￢s是�命题�

全称��命题�存在��命题的应用

�例3】　对�任��数x，函数y�x2＋4x�1的函数值�大��数m，求m的�值范围�

[解]　令y�x2＋4x�1，x∈R，

则y�(x＋2)2�5，

因为∀x∈R，�等�x2＋4x�1>m��立，

所以��m<�5���

所以所求m的�值范围是{m|m<�5}�

求解�有��的命题中�数范围的策略

(1) 对�全称��命题“∀x∈M，a�y(或a＜y)�为真的问题，�质就是�等���立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最�值)，�a�ymax(或a＜ymin).

(2)对�存在��命题“∃x∈M，a�y(或a＜y)�为真的问题，�质就是�等�能�立问题，通常转化为求函数y的最�值(或最大值)，�a�ymin(或a＜ymax).

3�若命题“p：∀x∈R，x2�2x＋m≠0�是真命题，则�数m的�值范围是(　　 )

A�m≥1　　　 B�m�1

C�m＜1 D�m≤1

B　[命题p：∀x∈R，x2�2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，�m�1.故选B.]

1�判定一个命题是全称��命题还是存在��命题的主�方法是看命题中�有哪���，判定时�特别注��略��的全称��命题�

2��判定一个全称��命题为真命题，必须对�定集�M中的�一个元素x验�p(x)�立，�判定其为�命题，��举出一个�例��；对存在��命题真�的判定方法正好�之相��

3�全称��命题�存在��命题的�定，其模�是固定的，�把相应的全称��改为存在��，存在��改为全称��，并把命题的结论加以�定�

1��考辨�

(1)命题“正方形都是长方形�是全称��命题�(　　)

(2)命题“有些�形是正方形�是全称��命题�(　　)

(3)命题：∀x∈R，x2�3x＋3>0的�定是∀x∉R，x2�3x＋3≤0.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2�下列存在��命题中，是�命题的是(　　 )

A�∃x∈Z，x2�2x�3�0

B�至少有一个x∈Z，使x能�时被2和3整除

C�有的三角形没有外�圆

D��些四边形�存在外�圆

C　[A中，x��1满足题�，是真命题；B中，x�6满足题�，是真命题；C中，所有的三角形都有外�圆，是�命题��有对角互补的四边形�有外�圆，故选C.]

3�命题“存在一个无�数，它的平方是有�数�的�定是(　　 )

A�任�一个有�数，它的平方是有�数

B�任�一个无�数，它的平方�是有�数

C�存在一个有�数，它的平方是有�数

D�存在一个无�数，它的平方�是有�数

B　[��“存在�改为“任��，结论“它的平方是有�数��定�为“它的平方�是有�数�，故选B.]

4�判断下列命题是全称��命题还是存在��命题，并判断其真��

(1)对�些�数x，有2x＋1>0；

(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是�数；

(3)∃x∈Q，x2�3.

[解]　(1)命题中�有存在��“�些�，因此是存在��命题，真命题�

(2)命题中�有全称��的符�“∀�，因此是全称��命题�

把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是�数，因此，该命题是真命题�

(3)命题中�有存在��的符�“∃�，因此是存在��命题�

由�使x2�3�立的�数�有±，且它们都�是有�数，因此，没有一个有�数的平方等�3，所以该命题是�命题�

本文结束，以上，就是什么叫做奇数，什么叫做奇数和偶数定义的全部内容了，如果大家还想了解更多，可以关注我们哦。