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什么是循环小数(什么是循环小数什么是有限小数)

威武短视频 2022年07月13日 22:42 178 威武短视频

目前应该是有很多小伙伴对于什么是循环小数方面的信息比较感兴趣，现在小编就收集了一些与什么是循环小数什么是有限小数相关的信息来分享给大家，感兴趣的小伙伴可以接着往下看，希望会帮助到你哦。

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什么是循环小数(什么是循环小数什么是有限小数)

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为什么有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数，以及怎么把一个无限循环小数化为它的既约分数形式?

不知道如何证明如果有理数化成小数形式如果是无限小数，那么它一定是循环的。碰到 0.168831 168831 168831... 怎么知道它作为分数是什么？

一、问题重述

要证明：有理数=有限小数+无限循环小数，咱们首先来做几个说明：

有理数又称为比例数，因此有理数和分子分母是整数的分数是等价的。每个有理数都有一个既约分数和它对应，既约分数是指分子和分母不仅是整数，而且二者的最大公约数是1。

有限小数是有理数一定正确。

我们可以把需要证明的有理数的范围缩小到(0, 1)之间，如果在这个范围内结论成立，那么推广到全部有理数上结论也成立。

无限循环小数是形如 的小数，其中前面的m个小数位没有循环，循环节是。

为了证明题目，需要证明下面两个结论：

  1. 无限循环小数一定是有理数。


  2. 有理数一定是有限小数或者无限循环小数。

二、证明无限循环小数一定是有理数

首先我们任取一个无限循环小数 ，从它开始循环的地方切一刀，把前面和后面的部分分开：

因为分数/有理数的四则运算还是分数/有理数，所以为证明q是有理数，只需要证明 可以写成分数的形式。

我们把循环节提出来，把 再分解一次：

后面的无限循环小数的循环节是连着k-1个是0，然后跟一个1，恰好满足：

原因是：

因此我们得到：

这样就证明了 是有理数。

三、证明有理数一定是有限小数或者无限循环小数

我们随便拿来一个既约真分数 。也就是分子分母互质，并且值在(0,1)之间的分数。我们要证明它一定是有限小数或者无限循环小数。

思路：

因为由上面的分析我们知道 是循环节为c的循环小数，我们首先试探任意有理数是否一定存在循环小数的相等形式：（这个等式不一定成立，但是可以启发我们）。假设这个等式成立，则：

交叉相乘，得到 。因为a、b互质，为了能让等式成立，就必须使b是的约数。因此，只要是某个连续若干个9组成的整数的约数，那么上面那个式子就一定成立。因此，我们需要尝试找一个整数n，满足b能整除 。这启发我们构造一个特殊的数列。

构造：

对任意，我们定义一个数 为连续m个9组成的整数除以b的余数：，如果有一个，那么咱们的目的就达到了。

同余除法有一点点复杂，经过一定计算我们可以得到一个递推公式：

继续推导可以得到一个一般递推公式：

因为一个数除以b的余数只能是0到b-1之间的b个整数，一共只b种可能，因此不断把k增大，一定有某两个f的值相同了。咱们不妨就假设 ，这说明：

因此是的约数。

虽然这并不能说能整除其中一个（除非是素数），但是可以说能分解成两部分，各整除其中一部分：我们令 ，满足整除，整除。前者可得整数 满足；对于后者，我们首先由的定义得知，其中是某个整数，从而两边加1得

，进而由 既整除 又整除 得到 能够整除 ，得知存在另一个整数满足。

因此我们得到：

咱们令

则可以得到：

和上一节的结论一比较，就可以知道这一定是一个有限小数或循环小数之。由于分数a、b的选择是任意的，证明完毕。

via:王小龙（知乎）

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