对角线法则(对角线法则只能用于计算二阶三阶行列式)

威武短视频 2022年07月06日 06:00 187 威武短视频

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行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式作出连贯的逻辑阐述.

法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。

二元线性方程组与二阶行列式

二元线性方程组，别名叫“二元一次方程组”，是指由两个方程两个未知量构成的线性方程组。二元线性方程组实质上就是二元一次方程组。因为二元一次方程的图象是一条直线，所以有时就将二元一次方程称之为线性方程，将二元一次方程组称之为线性方程组。

二阶行列式指4个数组成的符号，其概念起源于解线性方程组，是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的，因此我们首先讨论解方程组的问题。行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到。

用消元法解二元线性方程组：

为消去未知数x2, 以a22与a21分别乘上列两方程组的两端，然后两个方程组相减，得：

类似地，消去x1，得：

当a11*a22 - a12 * a21 ≠0时，求得方程组的解为：

上式中的分子，分母都是四个数分两对相乘在相减而得，其中分母a11 * a22 - a12 * a21是有方程组的四个系数确定的，把这两个数按他们在方程组中的位置，排成二行二列（横排称为行，竖排称为列）的数表：

表达式a11 * a22 - a12 * a21称为数表所确定的二阶行列式，并记作：

数aij(i=1,2; j=1,2)称为行列式的元素或元，元素aij的第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列，位于第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。

上述二阶行列式的定义，可用于对角线法则来记忆，参看下图，把a11到a22的实联线称为主对角线，a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得到的差。

利用二阶行列式的概念，方程组中的x1,x2的解也可以写成二阶行列式。即：

那么方程组的解就可以写成：

注意这里的分母D是由方程组的系数所确定的二阶行列式(称为系数行列式), x1的分子D1是由常数项b1, b2替换D中的x1的系数a11, a21所得的二阶行列式，x2的分子D2是由常数项b1,b2替换D中的x2的系数a12,a22所得的二阶行列式。

现在来看一个例题：

三阶行列式

定义设有9个数排列成三行三列的数表：

记：

上式称为数表所确定的三阶行列式。

上述定义中表明三阶行列式含6项，没项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循下图所示的对角线法则，图中有三条实线看做是平行于主对角线的联线，三条虚线看作是平行于副对角线的联线，实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘机冠以负号。

计算方法：

直接计算——对角线法：标准方法是在已给行列式的右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式的左上角到右下角的对角线称为主对角线，把右上角到左下角的对角线称为次对角线。这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的对角线上的三个数的积的和减去次对角线的三个数的积与和次对角线平行的对角线上三个数的积的和的差。

任何一行或一列展开——代数余子式：

行列式某元素的余子式：行列式划去该元素所在的行与列的各元素,剩下的元素按原样排列,得到的新行列式。

行列式某元素的代数余子式：行列式某元素的余子式与该元素对应的正负符号的乘积。

三阶行列式运算：即行列式可以按某一行或某一列展开成元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

例题：

计算三阶行列式：

按对角线法则，有D=1 * 2 * (-1)+ 2 * 1 *(-1) + (-4) * (-2) * 4 - 1 * 1 * 4 - 2 * (-2) * (-2) - (-4) * 2 * (-3) = -14

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